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Schnelle und parallel einsetzbare Prozessoren ermöglichen die Berücksichtigung immer mehr relevanter Details in Finite-Elemente-Berechnungen von Anwendungen wie Crashsicherheitsanalysen oder Metallumformprozessen. Aufgrund ihrer einfachen Struktur, sind Elemente mit linearen Ansatzfunktionen gut für den Aufbau der meist schalenartigen Modelle geeignet, wobei die Details vermehrt mit Volumen- statt mit Schalenelementen abgebildet werden. Ohne entsprechende Modifikationen versteifen diese das Finite-Elemente-System und führen bei Biegung oder plastischem Fließen zu unrealistisch kleinen Verformungen, was mit der – im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit stehenden – Methodik inkompatibler Erweiterungen ausgeglichen werden kann. Die Idee: gezielt die Genauigkeit verbessernde Ansatzfunktionen aus Elementen höherer Ordnung mit internen Parametern verknüpfen, ohne dabei die Anzahl der Elementknoten zu erhöhen. Allerdings kann die Berechnung dieser internen Parameter die Rechendauer der Simulation deutlich verlängern, wenn für die Schritt-für-Schritt-Lösung des simulierten Zeitintervalls eine explizite Integrationsmethode gewählt wird, die sehr kleine Schrittweiten erfordert. Dann ist das Finite-Elemente-System so oft auszuwerten, dass die Elementoperationen – die Berechnung der internen Parameter eingeschlossen – deutlich aufwendiger als die Lösung der Systemgleichungen sind, die durch konzentrierte Massen an den Elementknoten sehr effizient ist. Zur Effizienzsteigerung wird daher ein Konzept mit künstlichen Massen der internen Parameter vorgestellt, die dann – analog zu den Verschiebungen an den Elementknoten – explizit berechnet werden. Sonst sind die internen Parameter masselos und somit „statisch“ zu berechnen, was, aufgrund der dann erforderlichen, oft mit Iterationen verbundenen impliziten Berechnung, deutlich aufwendiger ist. Verschiedene Strategien mit expliziter oder impliziter Berechnung sowie einer Kombination davon werden mit bis zu 30 inkompatiblen Freiheitsgraden ausführlich untersucht. Ein weiterer zu untersuchender Aspekt sind infolge der Inkompatibilität auftretende Kinematiken. Die inkompatiblen Massen ermöglichen eine einfache Kontrolle, bei der die verursachenden Parameter identifiziert und abgefangen werden können. Allerdings erfordert die Kontrolle numerische Tests für jedes Beispiel, was bei komplexen Problemen eine deutliche Einschränkung darstellt. Darüber hinaus werden eine inkrementelle und eine ad hoc modifizierte inkompatible Elementformulierung untersucht, die zusätzlich – ohne weitere Maßnahmen – eine Volumenbedingung erfüllen, die ähnlich zu den bekannten Orthogonalitätsbedingungen ist. Deren Auswirkung wird an einem analytischen Beispiel demonstriert und durch weitere numerische Untersuchungen gestützt. Erste realistischere Beispiele bestätigen das Konzept der vorliegenden Arbeit. |
