Analyse der Kettenbruch-Regression und dessen Anwendung in der Werkstoffmodellierung
| Autor: | Ott, Alois Christian |
|---|---|
| Jazyk: | němčina |
| Rok vydání: | 2023 |
| Předmět: | |
| DOI: | 10.34726/hss.2023.88160 |
| Popis: | Die Continued Fraction Regression (kurz CFR) verwendet analytische Kettenbrüche zur Modellierung physikalischer Daten. In der Diplomarbeit wird untersucht, wie gut sich dieser Algorithmus für die Heißkompressionsdaten einer AA6082 Legierung eignet. In der künstlichen Intelligenz, spezieller dem maschinellen Lernen, ist die symbolische Regression dem Teilgebiet der genetischen Programmierung zuzuordnen. Nach der Behandlung des Grundkonzeptes wird der CFR-Algorithmus damit in Verbindung gebracht und ausführlich vorgestellt. Der Erfolg des Verfahrens beruht auf der sogenannten Padé-Approximation. So lässt sich eine holomorphe Funktion über rationale Funktionen oft besser beschreiben als über eine klassische Reihenentwicklung. Wann sich diese rationalen Funktionen dann als verallgemeinerte Kettenbrüche darstellen lassen, ist dabei der springende Punkt. Der mathematische Hintergrund ist hierfür Schritt für Schritt abgebildet, bis man schließlich ein Kriterium von Baker erhält, welche analytischen Funktionen in verallgemeinerte Kettenbrüche entwickelbar sind und dessen Kontinuanten eine Stufenfolge in der Padé-Tabelle bilden. Auch meromorphe Funktionen lassen sich in Kettenbrüche entwickeln, wobei man hier keine verallgemeinerten Kettenbrüche mehr erhält. Baker liefert weiters ein Theorem, wann eine Folge von Padé-Approximanten einer analytischen Funktion auch außerhalb des Konvergenzradius konvergiert. Anschließend folgt in einem empirischen Teil, ein Test über das im Algorithmus verwendete lokale Suchverfahren (Downhill Simplex). Es stellt sich dabei heraus, dass dieses für Kettenbrüche von geringer Tiefe einen hohen Einfluss hat. Hier und für folgende Implementierungen des CFR-Algorithmus kommt die Softwareumgebung HeuristicLab zum Einsatz. Im letzten Kapitel werden die Stauchversuchsdaten bereinigt, skaliert, gesampled und in Trainings- und Testdaten aufgeteilt. Die Trainingsdaten werden anschließend für die Parameteroptimierung und das Erlernen von Modellen verwendet. Der originale Algorithmus wird mit einer eigenen Implementierung der Kettenbruch-Regression verglichen. Bei Modellen mit hoher Kettenbruchtiefe zeigt der originale Algorithmus ein schlechtes Konvergenzverhalten und es tritt ein Underfitting ein. Erst durch eine Anpassung der lokalen Suche lässt sich ein Underfitting ausschließen. So wird mit Hilfe dieser Modifikation in der eigenen Implementierung erreicht, dass in den ersten Generationen Kettenbrüche mit niedriger Tiefe erzeugt werden. Erst im weiteren Verlauf werden durch Mutation und Rekombination Kettenbrüche höherer und schließlich auch maximaler Tiefe gebildet. Bei einem Vergleich mit anderen Modellen (antrainierbar im HeuristicLab) stellt sich heraus,dass die Kettenbruch-Regression zwar nicht so genaue Vorhersagen treffen kann, dafür aber sehr kompakte und leicht interpretierbare Modelle liefert. The Continued Fraction Regression (CFR for short), uses analytical continued fractions to model physical data. The thesis investigates how well the algorithm can be applied to the hot compression data of an AA6082 alloy. In artificial intelligence, especially in machine learning, symbolic regression belongs to the subfield of genetic programming. After dealing with the basic concept, the CFR algorithm is related to it and presented in detail. The success of the method is based on the so-called Padé approximation. Thus, a holomorphic function can often be better described via rational functions than via a classical series expansion. The conditions under which these rational functions can be represented as generalized continued fractions are of interest. The mathematical background for this is illustrated step by step until a criterion from Baker is shown. It reveals the conditions when analytic functions can be expanded into generalized continued fractions whose continuants form a staircase sequence in the Padé table. Meromorphic functions can also be expanded into continued fractions. In general, these are no longer generalized continued fractions. Baker also provides a theorem for when sequences of Padé approximants of an analytic function converge outside the radius of convergence.This is followed by an empirical part that tests the local search method (downhill simplex) used in the algorithm. It turns out that this has a high influence on continued fractions of low depth. Here and for the following implementations of the CFR algorithm, the software environment HeuristicLab is used. In the last chapter, the hot compression test data is cleaned, scaled, sampled and divided into training and test data. The training data is then used for parameter optimization and model learning. The original algorithm is compared with a custom implementation of the continued fraction regression. For models with a higher depth of continued fractions, the original algorithm shows poor convergence behaviour and underfitting occurs. An adjustment of the local search method can exclude the latter. By using this modification of the own implementation, continued fractions with low depth are generated in the first generations. In the further course continued fractions of higher and finally also maximum depth are formed through mutation and recombination. In a comparison with other models (trainable in HeuristicLab), it turns out that the continued fraction regression cannot make such precise predictions, but it provides very compact and easily interpretable models. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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