| Popis: |
У статті зроблено короткий огляд методів Рітца та Гальоркіна, одних з найважливіших інструментів сучасних обчислень. Визначено, що їх походження лежить у підході Гільберта до варіаційного числення Ейлера та в роботах Рітца, Гальоркіна, Бубнова та Кравчука. Розкрито, яким чином вони змінили варіаційне числення і стали одними із батьків сучасної обчислювальної математики. Показано шлях, який веде до сучасних обчислювальних методів. Прийнявши до уваги, що у першій половині минулого століття К. Ланцош запропонував так званий тау-метод, а в другій половині – В. Дзядик апроксимаційні методи, які тісно пов’язані з методами Гальоркіна, показано як ідеї В. Дзядика змінили сучасний стиль розв’язування диференційних та інтегральних рівнянь. We made a brief overview of the methods of Ritz and Galerkin, or briefly Galerkin, one of the most important tools of modern computing. Their origin lies in the Hilbert approach to the Euler variational method and in the works of Ritz, Galerkin, Bubnov, and Kravchuk. We discovered how they changed the variational calculation and became one of the parents of modern computational mathematics. It is shown the path that leads to modern computing methods and view a long struggle for many centuries by many great mathematicians. In the first half of the last century, K. Lancos offered a so-called tau-method, and in the second half – V. Dzyadyk approximation methods, which are closely related to the methods of Galerkin. In this paper we will show how the ideas of V. Dzyadyk changed the modern style of solving differential and integral equations. The purpose of the work is to investigate how important and how different the approximation method (A-method) is from the spectral methods of Ritz and Galerkin – the main variational methods of computing. According to V. Dzyadyk, the main idea in the process of developing the a-method is to construct such an approximate solution, which maximally accurately satisfies the approximation theorem on the characteristic of the best approximation by polynomials. That is why this method is called approximation’. In this method, V. Dzyadyk obtained, not only a posteriori error estimates, but also preliminary estimates (by comparing them with the values of the best approximations of the desired solution using polynomial powers). These studies naturally arose in the application of the theorem obtained in 1970 on the application of sequences of linear operators to solving Cauchy problems for linear differential equations with polynomial coefficients. |
