| Popis: |
Στη συγκεκριμένη διατριβή εξετάζουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες ένα μοντέλο με πολλά στοιχεία μπορεί να προσεγγιστεί από ένα άλλο, πιο απλό μοντέλο αποτελούμενο από λιγότερα στοιχεία, χωρίς το τελευταίο να χάνει τις ιδιότητες του αρχικού μοντέλου. Οι εν λόγω συνθήκες διευκολύνουν την ανάλυση μεγάλων και πολύπλοκων συστημάτων. Εφαρμόζουμε την έρευνά μας σε δύο πολύ βασικά εργαλεία διαχείρισης πιστωτικού κινδύνου: τις πιστωτικές διαβαθμίσεις (credit ratings) και το την πιστωτική βαθμολόγηση (credit scoring). Αρχικά, παρουσιάζουμε τον ορισμό και κάποιες βασικές ιδιότητες των διαδικασιών Markov. Στη συνέχεια εκθέτουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία αλυσίδα Markov, που περιγράφει την στοχαστική ανέλιξη των πιστωτικών διαβαθμίσεων, μπορεί να συσσωρευτεί σε μία μικρότερη αλυσίδα η οποία διατηρεί τη Μαρκοβιανή ιδιότητα, να είναι δηλ. «lumpable». Επιπλέον, παραθέτουμε τον ορισμό και τις ιδιότητες μιας απόλυτα συσσωρευόμενης («Exactly Lumpable») αλυσίδας Markov και, μέσω ενός παραδείγματος, αποδεικνύουμε ότι γενικά οι συγκεκριμένες ιδιότητες δεν ικανοποιούνται πάντα. Στο πλαίσιο αυτό, εισάγουμε την έννοια προσεγγιστικής συσσώρευσης («Approximate Lumpability»), και προτείνουμε μία διαδικασία ανεύρεσης αλυσίδας Markov, η οποία να είναι αφενός συσσωρεύσιμη και αφετέρου όσο το δυνατόν πιο κοντά στην αρχική αλυσίδα που δεν έχει τη συγκεκριμένη ιδιότητα. Ακόμα, εξετάζουμε το ερώτημα της ύπαρξης ή μη ενός αξιόπιστου κανόνα πιστωτικής βαθμολόγησης ενός συνόλου πελατών που αιτούνται δάνειο. Η έρευνά μας, που βασίζεται σε ένα θεώρημα διαχωρισμού υπερεπιπέδων του Kirchberger, απαντάει στο εν λόγω ερώτημα, καθώς τέτοιος κανόνας είναι εφικτό να δημιουργηθεί μέσω της εξέτασης ενός μικρού μόνο δείγματος δανειστών-πελατών, και όχι ολόκληρου του συνόλου τους, καταλήγοντας έτσι σε ένα γρήγορο και αξιόπιστο μοντέλο πιστωτικής βαθμολόγησης. Η μέθοδός μας αυτή παρουσιάζεται σε σχετική εκτενή εφαρμογή. |
