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Praticamente todos os engenheiros sao confrontados por problemas relacionados ao movimento periodico de corpos livres. Um exemplo simples e um pendulo oscilante, onde uma particula de peso W esta presa a uma haste sem peso, de comprimento l. Quando a particula e solta, formando um ângulo inicial θ0 com a vertical, oscila de um lado para o outro com periodo T [1]. As unicas forcas agindo na particula sao a gravidade g e a tensao R na haste, como apresentado na Figura 1. Figura 1: Pendulo Oscilante Ao aplicar as Leis de Movimento de Newton, deduz-se a seguinte Equacao Diferencial Ordinaria (EDO) d2θ dt2 g l sin θ 0 , (1) em que θ e o ângulo de deslocamento do pendulo [1]. Observa-se que a massa m nao aparece na equacao, pois o movimento de um pendulo nao depende de sua massa. A equacao (1) e uma EDO Nao-Linear, pela presenca do termo sin θ, o que impoe dificuldades para se obter sua solucao analitica. Para pequenos deslocamentos angulares, no entanto, sin θ e, aproximadamente, θ, sendo este expresso em radianos. Portanto, nesse caso, a equacao (1) se torna linear e assume a forma d2θ dt2 g l θ 0 . (2) bolsista de Iniciacao Cientifica PICME, CNPq/Capes O objetivo deste trabalho e obter as solucoes analitica e numerica de um Problema de Valor de Contorno (PVC) para um estudo de caso de um Pendulo Oscilante. Para isso, considera-se l 0.6096m, g 9.800665m/s2 e as condicoes de contorno θ(0) pi/8 e θ(10) pi/8. Obtem-se entao o PVC d2θ dt2 g l θ θ(0) pi8 e θ(10) pi 8 , (3) cuja solucao analitica e θ(t) 1 8 pi ( cos ( 402175607 500 ) 1 ) sin ( 402175607x 5000 ) sin ( 402175607 500 ) pi 8 cos ( 402175607x 5000 ) . (4) Para a solucao numerica, o algoritmo em MATLAB usado, que implementa o Metodo das Diferencas Finitas, e dado a seguir. Codigo 1: Metodo de Diferencas Finitas - MATLAB syms x %w’’ p(x)w’ q(x)w r(x), [a,b] dados inputdlg ({’P: ’, ’Q: ’, ’R: ’, ’n: ’},’Dados ’); limites inputdlg ({’a: ’, ’f(a): ’, ’b: ’, ’f(b): ’},’PVC’); passo (str2num(limites {3}) - str2num(limites {1}))/str2num(dados {4}); xVector str2num(limites {1}) : passo : str2num(limites {3}); %Sistema matricial: Aw d. Obtendo a matriz tridiagonal A: a(1) 2 (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector (2)); %diagonal principal b(1) -1 (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector (2)); %diagonal superior d(1) -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector (2)) ((1 (passo /2)*subs( dados {1},x,xVector (2)))*str2num(limites {2})); for i 2: length(xVector)-3 a(i) 2 (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector(i1)); b(i) -1 (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i1)); c(i) -1 - (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i1)); %inferior d(i) -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector(i1)); end a(i1) 2 (passo 2)*subs(dados {2},x,xVector(i2)); c(i1) -1 - (passo /2)*subs(dados {1},x,xVector(i2)); d(i1) -(passo 2)*subs(dados {3},x,xVector(i2)) ((1 - (passo /2)*subs (dados{1},x,xVector(i2)))*str2num(limites {4})); %Fatoracao LU l(1) a(1); u(1) b(1)/a(1); z(1) d(1)/l(1); for i 2: length(xVector)-3 l(i) a(i) - (c(i)*u(i-1)); u(i) b(i)/l(i); z(i) (d(i) - (c(i)*z(i-1)))/l(i); end l(i1) a(i1) - (c(i1)*u(i)); z(i1) (d(i1) - (c(i1)*z(i)))/l(i1); %Resolvendo o sistema w(1) str2num(limites {2}); w(length(xVector)) str2num(limites {4}); w(length(xVector) -1) z(length(xVector) -2); for i length(xVector) -2: -1 : 2 w(i) z(i-1) - (u(i-1)*w(i1)); end A ideia do Metodo e substituir as derivadas da EDO pelas formulas de Diferencas Centradas. O intervalo trabalhado e discretizado, no caso, para [0, 10] foi usado passo h 0.01, formando um sistema de equacoes de ordem 999 999 para as aproximacoes θi em cada um dos pontos. O algoritmo gera esse sistema, cuja matriz de coeficientes e tridiagonal e, para sua resolucao, aplica Fatoracao LU [2]. A Figura 2 apresenta os graficos de ambas as solucoes. Figura 2: Solucoes Graficas Com as solucoes graficas fica claro a proximidade entre os valores numericos e os analiticos. A Tabela 1 apresenta uma comparacao mais clara para alguns dos pontos calculados. Tabela 1: Resultados e Erro i xi θi θ(xi) Erro absoluto 0 0 0.3926990817 0.3926990817 0 200 2 0.9313500208 0.9445509565 0.0132009357 400 4 -0.7001842363 -0.7081023307 0.0079180944 600 6 -0.7001842363 -0.7081023307 0.0079180944 800 8 0.9313500208 0.9445509565 0.0132009357 1000 10 0.3926990817 0.3926990817 0 O metodo provou sua eficiencia, pois realmente aproximou a solucao numerica a analitica. |
