Local Fourier bases and their applications
| Autor: | Andreolli, Beatrice |
|---|---|
| Jazyk: | angličtina |
| Rok vydání: | 2020 |
| DOI: | 10.25365/thesis.65348 |
| Popis: | Es werden zwei Hauptkonstruktionen von lokalen Fourierbasen erläutert. Die erste besteht darin, eine einfache Wilson-Orthonormalbasis $\psi_{m,n}$ zu bilden, wobei sowohl $\psi_{m,n}$ als auch die entsprechende Fouriertransformation $\hat{\psi}_{m,n}$ exponentiell abfallen. Solche Basen entstehen aus der Modifikation eines Gaborframes, sodass die Redundanz des Gaborsystems behoben wird, aber die gute Zeitlokalisierung erhalten bleibt. Wir präsentieren drei äquivalente Beweise dafür, dass $\psi_{m,n}$ eine Orthonormalbasis ist; in zwei Fällen werden Frametheorie und Gaboranalysis verwendet. Die zweite Konstruktion beruht auf der Grundidee, glatte orthogonale Projektionen von Funktionen auf Intervallen zu finden. Für jedes Intervall $I$ können wir mehrere Orthonormalbasen von $L^2(I)$ konstruieren, die aus trigonometrischen Funktionen multipliziert mit der charakteristischen Funktion von $I$ bestehen. Für eine gegebene Partition $\{\alpha_k\}$ von $\mathbb{R}$ können diese Basen zu einer Orthonomalbasis von $L^2(\mathbb{R})$ "zusammengeklebt" werden. Um die Lokalisierungsfrequenz zu verbessern, zeigen wir, dass man die charakteristische Funktion auf jedem Intervall in der Partition durch eine glatte Funktion $b_k \in\mathcal{C}^N(\mathbb{R})$ mit kompaktem Träger für $N \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ ersetzen kann. Diese Basen werden "lokale Fourierbasen" genannt. Im Falle einer gleichmäßigen Partition mit passender Parität sind Wilsonbasen ein Spezialfall von lokalen Fourierbasen. Schließlich werden zwei Anwendungen von lokalen Fourierbasen präsentiert. Erstens wird gezeigt, dass lokale Fourierbasen unbedingte Basen von den Modulationsräumen auf $\mathbb{R}$ darstellen; es folgt daraus, dass Funktionsräume, die durch die Approximation bezüglich einer lokalen Fourierbasis definiert sind, die Modulationsräume sind. Die zweite Anwendung besteht in der Verwendung von lokalen Fourierbasen bei der Messung von Gravitationswellen. Two main constructions of local Fourier bases are presented. The first consists in constructing a simple orthonormal Wilson basis $\psi_{m,n}$ where both $\psi_{m,n}$ and its Fourier transform $\hat{\psi}_{m,n}$ have exponential decay. These are modifications of a Gabor system in a way that the redundancy of a Gabor frame is removed but the good time-frequency localization is preserved. We describe three equivalent ways to show that $\psi_{m,n}$ is an orthonormal basis, two of them using frame theory and Gabor analysis. The second construction is based on the idea of finding smooth orthogonal projections of functions over intervals. For every interval $I$ we can construct several orthonormal bases for $L^2(I)$ consisting of trigonometric functions multiplied by the characteristic function of $I$ and, given a partition $\{\alpha_k\}$ of $\mathbb{R}$, these bases can be patched together to form an orthonormal basis of $L^2(\mathbb{R})$. To improve the frequency localization, we show that we can replace the characteristic function of each interval in the partition by a smooth bell function $b_k \in\mathcal{C}^N(\mathbb{R})$ with compact support for $N \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$. These bases are called ``local Fourier bases''. In the case of a uniform partition and considering a suitable parity, Wilson bases are a particular case of local Fourier bases. Two applications of local Fourier bases are presented. Firstly, we show that local Fourier bases are unconditional bases for the modulation spaces on $\mathbb{R}$ and, as a consequence, the function spaces defined by the approximation with respect to a local Fourier bases are the modulation spaces. The second application consists in the use of local Fourier bases for the extraction of a gravitational waves. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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