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Hamiltonian graph theory has been widely studied as one of the most important problems in graph theory. In this thesis, we work on generalizations of hamiltonian graph theory, and focus on the following topics: hamiltonian, pancyclicity, chorded pancyclic in the claw-free graphs, k-fan-connected graphs. For the pancyclicity problem, we show for k= 2, 3, if G= (V, E) is a k-connected graph of order n with V(G) =X₁⋃X₂⋃⋯⋃X_k, and for any pair of nonadjacent vertices x,y in Xᵢ with i= 1,2, ⋯,k, we have d(x) +d(y) ≥n, then G is pancyclic or G is a bipartite graph. For the hamiltonian problem of bipartite digraph, let D be a strongly connected balanced bipartite directed graph of order 2a≥10. Let x, y be distinct vertices in D, {x, y} dominates a vertex z if x→z and y→z; in this case, we call the pair {x, y} dominating. We show that D is hamiltonian for each dominating pair of vertices if their degree sum is at least 3a. In addition, we show some new sufficient conditions for bipancyclic and cyclability of digraphs. For the chorded pancyclic problem in claw-free graphs, we prove that every 2-connected claw-free graph G with |V(G)|≥35 is chorded pancyclic if the minimum degree is at least (n−2)/3. Furthermore, we show the number of chords in the chord cycle of length l(4≤l≤n). In addition, G is doubly chorded pancyclic. For the k-fan-connected problem, we prove that if for any three independent vertices x₁,x₂,x₃ in a graph G, d(x₁)+d(x₂)+d(x₃)−|N(x₁)⋂N(x₂)⋂N(x₃)|≥|V(G)|+k-1, then G is k-fan-connected and the lower bound is sharp. This main result deduces a 3-connected graph, under the same assumptions, is a Hamilton-connected. Finally, we would like to mention several new studies related to this thesis that is not included in the thesis. Moreover, we also cover other topics that I am interested in, such as hamiltonian line graphs, fault-tolerant hamiltonicity, graph coloring and so on. These topics are likely to become my further research fields.; La théorie hamiltonienne des graphes a été largement étudiée comme l’un des problèmes les plus importants de la théorie des graphes. Dans cette thèse, nous travaillons sur des généralisations de la théorie hamiltonienne des graphes, et nous nous concentrons sur les sujets suivants : hamiltonien, pan-cyclicité, pancyclicité à cordes dans les graphes sans griffes, graphes k-fan-connectés. Pour le problème du pancyclicité, on montre pour k=2,3, si G= (V, E) est un graphe k-connecté d’ordre n avec V(G) =X₁⋃X₂⋃⋯⋃X_k, et pourtoute paire de sommets non adjacents x, y dans Xᵢ avec i= 1,2, ⋯, k, on a d(x) +d(y) ≥n, alors G est pancyclique ou G est un graphe bipartite. Pour le problème hamiltonien du digraphe biparti, soit D un graphe orienté biparti équilibré fortement connecté d’ordre 2a≥10. Soit x,y des sommets distincts dans D, {x,y} domine un sommet z si x→z et y→z; dans ce cas, nous appelons le couple {x,y} dominant. Nous montrons que D est hamiltonien pour chaque paire de sommets dominants si leur somme de degrés est d’au moins 3a. En outre, nous montrons quelques nouvelles conditions suffisantes pour la bipancyclique et la cyclabilité des digraphes. Pour le problème pancyclique à cordes dans les graphes sans griffes, nous prouvons que tout graphe G sans griffes 2-connecté avec |V(G)|≥35 est pancyclique à cordes si le degré minimum est d’au moins (n−2)/3. De plus, nous montrons le nombre de cordes dans le cycle à cordes de longueur l (4≤l≤n). De plus, G est un pancyclique à double corde. Pour le problème k-fan-connecté, nous prouvons que si pour trois sommets in dépendants x₁,x₂,x₃ dans un graphe G, d(x₁)+d(x₂)+d(x₃)−|N(x₁)⋂N(x₂)⋂N(x₃)|≥|V(G)|+k-1, alors G est k-fan-connecté et la borne inférieure est tranchant. Ce résultat principal en déduit qu’un graphe 3-connexe, sous les mêmes hypothèses, est un Hamilton-connexe. Enfin, nous aimerions mentionner plusieurs nouvelles études liées à cette thèse qui n’est pas incluses dans la thèse. De plus, nous couvrons également d’autres sujets qui m’intéressent, tels que les graphes de ligne hamiltoniens, l’hamiltonicité tolérante aux pannes, la coloration de graphe, etc. Ces sujets sont susceptibles de devenir mes autres domaines de recherche. |
