| Přispěvatelé: |
University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics, Doctoral Programme in Mathematics and Statistics, Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, Matematiikan ja tilastotieteen tohtoriohjelma, Helsingfors universitet, matematisk-naturvetenskapliga fakulteten, Doktorandprogrammet i matematik och statistik, Serov, Valery, Lassas, Matti |
| Popis: |
Each of the articles of this dissertation is related to a specific measurement setup for determining the interior structure of a target object using indirect observations. We study microlocal singularities such as peaks and non-regularities, and use their dynamical properties to solve the associated inverse problems. The works combine methods of microlocal analysis, differential geometry and techniques of geometric inverse problems. The first article (I) is about the inverse problem of recovering the law of a random potential from empirical correlations in the peak scattering of several plane waves interacting simultaneously with the potential. Observing peaks in the total wave at a distance makes it possible to recover correlations between the X-ray transforms of the potential provided that it is almost surely H^2-valued random variable and supported in some fixed compact set. This is then applied to show that the law V^*P is uniquely determined by the measurements in a reasonable class of random potentials. In the second article (II), the relativistic Boltzmann equation with a source is studied. We investigate the inverse problem of recovering the corresponding Lorentzian tensor of a system behaving according to the Boltzmann equation by observing light in a confined, possibly small, area V in space and time. We show that it is possible to uniquely recover the underlying Lorentzian metric in causally attainable regions outside V from source-to-solution data defined on sources with support in V. The work is based on the microlocal techniques developed for non-linear waves by Kurylev, Lassas and Uhlmann. In comparison to their result, we were able to recover the actual metric instead of merely the conformal class. In the third article (III), Cherenkov radiation in anisotropic materials with scalar wave impedance is shown to have a microlocal description as a propagation of singularities which can be used as a method to recover the Riemannian metric determining the permittivity and permeability tensors, and hence the fundamental electromagnetic properties of the medium. The work is most likely the first time that Cherenkov scattering has been applied to solve a geometric inverse problem. It strongly suggests that the phenomenon can be used to develop new modalities for imaging. Tämä väitöskirja koskee matemaattisia malleja, jotka kuvaavat fysikaalisia mittausasetelmia, joissa tavoitteena on selvittää tarkasteltavan tutkimuskohteen sisäinen rakenne sen ulkopuolelta käsin. Kohteeseen kohdistetaan energiaa aaltojen tai hiukkasten muodossa samalla mitaten prosessissa muodostuvaa sirontaa. Väitöskirja koostuu johdanto-osion lisäksi kolmesta tieteellisestä julkaisusta. Näissä töissä sovelletaan mikrolokaalia analyysiä ja geometrisiä menetelmiä inversio ongelmiin. Keskiössä on ns. singulariteettien tutkiminen havaintoaineistona. Ensimmäinen julkaisu (I) liittyy fysikaaliseen asetelmaan, missä tuntematon, ergodisesti kehittyvä satunnaispotentiaali vuorovaikuttaa eri suunnista samanaikaisesti lähetettyjen tasoaaltojen kanssa. Mittauksena työssä käytetään sironneen kokonaisaallon pääsingulariteettien amplitudeja. Asetelma vastaa jokseenkin useiden röntgenkuvien ottamista samanaikaisesti eri kulmista. Tutkimme tällä tavoin kerätyn statistisen mittausaineiston mallia ja osoitamme, että suurelle luokalle satunnaispotentiaaleja niiden funktioarvoiset todennäköisyysjakaumat voidaan yksikäsitteisesti selvittää mittauksista. Toinen julkaisu (II) koskee kineettisen teorian epälineaarista mallia, jossa suuri määrä hiukkasia vuorovaikuttaa törmäilemällä toisiinsa yleisen suhteellisuusteorian kontekstissa. Matemaattisesti kyse on relativistisestä Boltzmannin yhtälöstä, jossa on lisäksi ylimääräinen, kontrolloitavissa oleva hiukkaslähde. Mallin epälineaarisuutta aktiivisesti hyödyntäen osoitamme, että hiukkasten törmäyksissä muodostuvia fotoneja tarkastelemalla on mahdollista selvittää globaalisti hyperbolisen aika-avaruuden rakenne alueissa, jotka ovat kausaalisen vuorovaikutuksen piirissä. Kolmas julkaisu (III) käsittelee matemaattisesti Cherenkovin säteilyä epähomogeenisessa, anisotrooppisessa väliaineessa. Kyseistä säteilyä muodostuu, kun varattu hiukkanen liikkuu aineessa nopeampaa kuin väliaineen valon nopeus. Ilmiö on ikään kuin sähkömagneettinen analogia äänivallin rikkoontumiselle. Työssä osoitetaan, että Cherenkovin säteilyä tarkastelemalla on tietyin edellytyksin mahdollista selvittää väliaineen sähkömagneettiset ominaisuudet. Tulos viittaa siihen, että Cherenkovin säteilyä voi käyttää anisotrooppisen aineen tarkkaan kuvantamiseen. |
