Large deviations theory in statistical physics : some theoretical and numerical aspects

Autor: Ferré, Grégoire
Přispěvatelé: Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique (CERMICS), École des Ponts ParisTech (ENPC), Université Paris-Est, Gabriel Stoltz, MATHematics for MatERIALS (MATHERIALS), Inria de Paris, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique (CERMICS), École des Ponts ParisTech (ENPC)-École des Ponts ParisTech (ENPC), Université Paris-Est (UPE), Université Marne La Vallée, STAR, ABES, Ferré, Grégoire, École des Ponts ParisTech (ENPC)-École des Ponts ParisTech (ENPC)-Inria de Paris, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)
Jazyk: francouzština
Rok vydání: 2019
Předmět:
Analyse numérique des EDS
[MATH.MATH-PR] Mathematics [math]/Probability [math.PR]
Interacting particle systems
Grandes déviations
[PHYS.MPHY]Physics [physics]/Mathematical Physics [math-ph]
Numerical analysis of SDEs
[MATH] Mathematics [math]
Coulomb gases
[PHYS.COND.CM-SM] Physics [physics]/Condensed Matter [cond-mat]/Statistical Mechanics [cond-mat.stat-mech]
[MATH.MATH-ST]Mathematics [math]/Statistics [math.ST]
Physique statistique
Ergodicité
[MATH.MATH-SP] Mathematics [math]/Spectral Theory [math.SP]
Hamiltonian Monte Carlo
[MATH]Mathematics [math]
[PHYS.COND.CM-SM]Physics [physics]/Condensed Matter [cond-mat]/Statistical Mechanics [cond-mat.stat-mech]
[MATH.MATH-ST] Mathematics [math]/Statistics [math.ST]
Feynman-Kac
Variance reduction
Ergodicity
Grandes déviation
[MATH.MATH-NA] Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]
[PHYS.MPHY] Physics [physics]/Mathematical Physics [math-ph]
Gas de Coulomb
[MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR]
Large deviations
Systèmes de particules en interaction
Réduction de variance
Statistical physics
[MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]
[MATH.MATH-SP]Mathematics [math]/Spectral Theory [math.SP]
Zdroj: Statistiques [math.ST]. Université Paris-Est, 2019. Français. ⟨NNT : 2019PESC1035⟩
Mathematics [math]. Université Marne La Vallée, 2019. English
Mathematics [math]. Université Marne La Vallée, 2019. English. ⟨NNT : ⟩
Popis: This thesis is concerned with various aspects of large deviations theory in relation with statistical physics. Both theoretical and numerical considerations are dealt with. The first part of the work studies long time large deviations properties of diffusion processes. First, we prove new ergodicity results for Feynman-Kac dynamics, both in continuous and discrete time. This leads to new fine results (in the sense of topology) for large deviations of empirical measures of diffusion processes. Various numerical problems are then covered. We first provide precise error estimates on discretizations of Feynman-Kac dynamics, for which the nonlinear features of the dynamics demand new tools. In order to reduce the variance of naive estimators, we provide an adaptive algorithm relying on the technique of stochastic approximation. We finally consider a problem concerning low temperature systems. We present a new method for constructing an approximation of the optimal control from the instanton (or reaction path) theory. The last part of the thesis is concerned with the different topic of Coulomb gases, which appear both in physics and random matrix theory. We first present an efficient method for simulating such gases, before turning to gases under constraint. For such gases, we prove new concentration results in the limit of a large number of particles, under some conditions on the constraint. We also present a simulation algorithm, which confirms the theoretical expectations.
Cette thèse s’intéresse à différents problèmes de grandes déviations en rapport avec la physique statistique, qu’elle aborde sous l’angle théorique aussi bien que numérique. La première partie concerne l’étude de grandes déviations en temps long pour les processus de diffusion. Tout d’abord, de nouveaux résultats d’ergodicité sont montrés pour les dynamiques de Feynman-Kac, en temps discret et en temps continu. Ceci conduit à de nouveaux résultats fins (au sens de la topologie considérée) sur les grandes déviations de mesures empiriques de processus de diffusion. Divers aspects numériques sont ensuite abordés. Tout d’abord, des estimées d’erreur précises sont fournies pour les discrétisations de processus de Feynman-Kac, la non-linéarité de la dynamique demandant le développement de nouveaux outils. Afin de réduire la variance des estimateurs classiques de grandes déviations, un algorithme adaptatif est ensuite présenté, qui utilise les techniques dites d’approximation stochastique. Enfin, nous abordons une problème numérique concernant les systèmes à basse température, et présentons une méthode pour construire une approximation du contrôle optimal à partir de la théorie du chemin de réaction. La dernière partie de cette thèse porte sur un sujet légèrement différent, celui des gaz de Coulomb, qui apparaissent en physique mais aussi dans la théorie des matrices aléatoires. Nous présentons d’abord une méthode efficace pour la simulation de tels gaz, avant de nous tourner vers l’étude des gaz sous contrainte. Pour ceux-ci, nous prouvons de nouveaux résultats de concentration dans la limite d’un grand nombre de particules, sous certaines conditions sur la contrainte. Nous présentons également un algorithme de simulation qui confirme les attentes théoriques.
Databáze: OpenAIRE
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