| Popis: |
The box polynomial of a lattice simplex is a variant of the more well-known h∗-polynomial, where the open fundamental parallelepiped is considered instead of the half-open. Box polynomials are connected to h∗-polynomials by a theorem of Betke and McMullen from 1985. This theorem can be used to prove certain properties of h∗-polynomials, such as unimodality and symmetry. In this thesis, we investigate box polynomials of a certain family of simplices, called s-lecture hall simplices. The h∗-polynomials of these simplices are a generalization of Eulerian polynomials, and were proven to be real-rooted by Savage and Visontai in 2015. We use a modified version of their proof to prove that the box polynomials are also real-rooted, and show that they are a generalization of derangement polynomials. We then use these results to partially answer a conjecture by Brändén and Leander regarding unimodality of h∗-polynomials of s-lecture hall order polytopes. Boxpolynomet av ett gittersimplex är en variant av det mer kända h∗-polynomet, där den öppna fundamentala parallelepipeden används istället för den halvöppna. Boxpolynom är kopplade till h∗-polynom tack vare en sats av Betke och McMullen från 1985. Denna sats kan användas för att bevisa vissa egenskaper hos h∗-polynom, som t.ex. unimodalitet och symmetri. I denna uppsats undersöker vi boxpolynomen hos en särskild familj av simplex, de så kallade s-hörssalssimplexen. För dessa simplex är h∗-polynomen en generalisering av de Eulerska polynomen, och visades ha endast reella rötter av Savage och Visontai 2015. Vi använder en modifierad version av deras bevis för att bevisa att även boxpolynomen bara har reella rötter, och att de är en generalisering av derangemangpoly-nom. Vi använder sedan dessa resultat för att delvis besvara en förmodan av Brändén och Leander angående unimodaliteten hos h∗-polynomen av s-hörsalsordningspolytoper. |
