Computing the intersection of two quadrics through projection and lifting
| Autor: | Trocado, Alexandre Emanuel Batista da Silva |
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| Přispěvatelé: | Gonzalez-Vega, Laureano, Araújo, João |
| Jazyk: | angličtina |
| Rok vydání: | 2020 |
| Předmět: | |
| Zdroj: | Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (RCAAP) instacron:RCAAP |
| Popis: | O objetivo desta dissertação é o estudo da interseção de duas quádricas, do ponto de vista teórico através da demonstração de novos resultados e, do ponto de vista prático, implementando um algoritmo em dois softwares, o GeoGebra e o Maple. As quádricas são as mais simples superfícies curvas e determinar a sua interseção tem sido um problema de interessante resolução nas últimas décadas. Com o aumento do uso de computadores, a sua determinação e descrição ganhou uma maior relevância. Muitos problemas surgem frequentemente em aplicações de engenharia, modelação geométrica, projeto assistido por computador e robótica [2]. Um grande número de algoritmos foi proposto em [6], [23] e [2], baseados em técnicas aritméticas de ponto flutuante sensíveis a erros de arredondamento e com baixos tempos de execução em detrimento da precisão. Por outro lado, métodos simbólicos baseados na aritmética exata garantem a exatidão dos resultados, mas com tempos de execução altos. Portanto, a técnica a ser usada ao lidar com problemas de interseção deve ser cuidadosamente escolhida para obter tempos de execução aceitáveis. Durante vários anos deve-se a Levin ([27] e [28]) o único método geral conhecido para a determinação e representação da interseção de duas quádricas. Este método basea-se na análise do conjunto definido pela combinação linear das duas quádricas. No entanto, este método, por vezes, falha quando a curva de interseção é singular ou quando é usado um método de representação que recorre a ponto flutuante. Ao longo do tempo, este método proposto por Levin foi alvo de diferentes melhorias e recentemente Dupont e outros ([12], [13], [14]) propuseram um algoritmo que determina, recorrendo à análise de várias dezenas de casos no espaço projetivo, a interseção de duas quádricas. A performance deste algoritmo foi analisada em [26]. Nesta dissertação, o método utilizado recorre à projeção num plano da curva de interseção, à análise da topologia dessa curva e ao seu levantamento. Este trabalho inclui três artigos, um submetido para publicação (ver Capítulo 2) e dois outros publicados (ver Capítulos 3 e 4). Porquê o recurso ao GeoGebra e ao Maple? O GeoGebra é um software de geometria dinâmica que pode ser usado em todos os níveis de ensino que combina funcionalidades de Geometria 2D, 3D, álgebra, cálculo algébrico simbólico (CAS), representação gráfica, cálculo e estatística. A este software está associada uma larga comunidade de utilizadores espalhada pelo mundo, fazendo com que este seja considerado um dos softwares mais utilizados na educação ao nível do ensino básico e secundário. Por outro lado, o Maple é um poderosa ferramenta de cálculo algébrico simbólico. Esta ferramenta permite que estudantes, educadores e matemáticos consigam efetuar cálculo simbólico, numérico e construção de algoritmos, programáveis através de uma linguagem e comandos próprios, combinando assim, o poder dos algoritmos com as funcionalidades do CAS. De uma forma geral, o GeoGebra tem a vantagem de ser um software livre, de código aberto e de utilização simples que permite a interação com os objetos matemáticos, em diferentes perspetivas, de uma forma bastante intuitiva. No entanto, algumas das suas funcionalidades ainda possuem algumas limitações, em particular, a interseção de objetos 3D. Por outro lado, o Maple tem a desvantagem de ser um software comercial, por dificultar a utilização universal, e a interação com os objetos matemáticos não é tão intuitiva como o do GeoGebra, mas os seus packages permitem lidar com conteúdos matemáticos muito mais exigentes do que o GeoGebra. O primeiro artigo é dedicado à descrição do método, definindo uma estrutura teórica também usada nos dois artigos seguintes. Neste primeiro artigo, novos resultados são apresentados: a forma para determinar a expressão analítica da curva de projeção (cutcurve) que deve ser definida numa região plana delimitada pelas curvas silhueta (curvas de projeção dos limites de ambas quadricas); um método para determinar pontos singulares da curva de projeção e pontos comuns entre a cutcurve e as curvas de silhueta. O método algébrico foi definido recorrendo a resultantes e subresultantes, sendo o seu desempenho testado através de uma implementação no software Maple. Em alguns casos, foi possível determinar a exata parametrização da curva de interseção (envolvendo radicais se necessário), noutros o resultado (topologicamente correto) foi apresentado como o levantamento da discretização dos ramos da curva de projeção, uma vez que os seus pontos singulares estejam todos determinados. O principal objetivo do segundo artigo é criar uma ferramenta para determinar a curva de interseção de duas quadráticas. Algo que o GeoGebra permite apenas para casos muito simples. Neste artigo, é apresentada uma implementação do algoritmo descrito no primeiro artigo, no GeoGebra. Essa implementação é feita usando apenas comandos do GeoGebra que interagem com as janelas Álgebra, CAS, 2D e 3D. Para testar a eficiência e aplicabilidade desse algoritmo (e a sua implementação no GeoGebra), foram gerados aleatoriamente e testados 50 exemplos. Os casos analisados foram aqueles em que duas quadráticas são definidas por dois polinómios de grau 2, na variável z, o caso de uma quádrica é definida a partir de polinómio de grau 2 e de um polinómio de grau 1 e, finalmente, o caso em que as duas quadráticas são definidas por dois polinómios do grau 1 na variável z. No terceiro artigo, é apresentada a implementação no software Maple do método descrito e analisado no primeiro artigo. O comando intersectplot do Maple representa a curva de interseção, num espaço tridimensional, entre duas de superfícies bidimensionais. Neste artigo, mostra-se como essa implementação no Maple melhora os resultados produzidos pelo comando intersectplot quando se determina a curva de interseção entre duas quádricas em 3D. Esta abordagem não pretende classificar a curva de interseção entre as duas quadráticas consideradas. O principal objetivo é produzir de maneira muito direta uma descrição da curva de interseção que seja topologicamente correta. Esta é a razão pela qual permitimos que o levantamento da curva de projeção, quando possível, recorra ao uso de radicais ou contamos com a discretização dos ramos da curva de projeção (determinados exclusivamente pelos pontos determinados nessa curva). A implementação no GeoGebra mostrou-se funcional, mas demonstrou ser lenta nos casos em que exitiram muitos pontos singulares da curva da curva de projeção. Usando esse processo, pontos singulares que vêm da interseção tangencial não foram determinados e esses pontos podem ser produzidos pela função locus GeoGebra. Alguns problemas técnicos foram detectados pela falta de precisão do comando do locus do GeoGebra durante a representação da curva de projeção, o que não invalidou o funcionamento correto do algoritmo. Em alguns casos, o GeoGebra poderá produzir melhores resultados se for possível aumentar a precisão da funcionalidade locus. Em relação à implementação do algoritmo no Maple, seu desempenho foi analisado apenas nos casos mais complicados, nos quais as duas quadráticas são definidas por polinómios de segundo grau em z. Em alguns desses casos, foi possível obter a parametrização exata da curva de interseção mesmo com radicais. É possível destacar que alguns pontos não determinados pelo comando intersectplot do Maple foram calculados, usando o método descrito nesta dissertação. Num futuro próximo, o desempenho do algoritmo poderá ser otimizado e a sua implementação no Maple deverá considerar não apenas o caso geral, ou seja, considerar as duas quadrádicas definidas por polinómios de grau menor que 2 na variável z. The aim of this dissertation is to study the intersection of two quadrics, improving from the theoretical point of view through the demonstration of new results and from the practical point of view by implementing an algorithm in two softwares, GeoGebra and Maple. The method used to determine the intersection curve of two quadrics was the projection onto a plane of the intersection curve, analysis of this curve and lifting. This work includes three articles, one accepted (see Chapter 2) and two other published (see Chapters 3 and 4). The first paper (see Chapter 2) is devoted to the description of the method by defining a theoretical framework also used in the following two papers. In this first paper new results are presented: to determine the analytic expression of the cutcurve (projection curve onto a plane of the quadrics’ intersection curve) which must be defined in a plane region bounded by the silhouette curves (projection curves of boundaries of both quadrics); to determine singular points of the cutcurve and common points between the cutcurve and the silhouette curves. The algebraic method was defined using resultants and subresultants and its performance was tested by an implementation on Maple software. Chapter 3 is devoted to adapting the developed algorithm to the GeoGebra software and its aim is to contribute to the creation of a tool that allows this software to compute the intersection curve of any two quadrics. In Chapter 4, the algorithm defined in Chapter 2 is developed and implemented on Maple software. The aim of this work is to contribute to the accuracy of Maple intersectplot command. Finally, some conclusions taken from the work developed so far are presented; besides, other considerations about the potential research in this area will be given. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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