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Die vorliegende Arbeit untersucht mit Methoden aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Statistiken von großen zufälligen Matrizen. Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil geht es um Grenzwertsätze für nicht-klassische zufällige Matrizen, die durch Symmetrien beschrieben werden können und deren Einträge gewissen Korrelationsbedingungen genügen. Wir beweisen Konvergenz des empirischen Maßes der Eigenwerte der zufälligen Matrix gegen das Halbkreisgesetz (Wigner-Dyson- und Bogoliubov-de Gennes-Ensembles) bzw. gegen eine modifizierte Marchenko-Pastur-Verteilung (chirale Ensembles). Im zweiten Teil beweisen wir ein Prinzip großer Abweichungen für den größten Eigenwert einer zufälligen Matrix, deren Eigenwerte eine gemeinsame biorthogonale Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen. Zusätzlich dazu ist die Gewichtsfunktion n-abhängig. Damit beschreibt unser Satz große Abweichungen des größten Eigenwertes für viele Modelle, die u.a. in der theoretischen Physik untersucht werden. |
