Nouvelles applications des surfaces rationnelles et surfaces de Kummer généralisées sur des corps finis à la cryptographie à base de couplages et à la théorie des codes BCH
| Autor: | Koshelev, Dmitrii |
|---|---|
| Přispěvatelé: | Laboratoire de Mathématiques de Versailles (LMV), Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines (UVSQ)-Université Paris-Saclay-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Paris-Saclay, Michael A. Tsfasman |
| Jazyk: | francouzština |
| Rok vydání: | 2021 |
| Předmět: |
Isogenies and pairings
Point compression and hashing for elliptic curves of j-Invariants 0.1728 Weil restriction Isogénies et couplages Reflexive polygons and (singular) del Pezzo surfaces Corps finis Fibrations en coniques et fibrations elliptiques Polygones réflexifs et surfaces de del Pezzo (singulières) BCH and algebraic geometry codes (generalized) Kummer surfaces Surfaces de Kummer (généralisées) Tores algébriques et variétés toriques non déployés Mordell--Weil groups Compression de points et hachage pour courbes elliptique de j-Invariants 0.1728 Non-Split algebraic tori and toric varieties Codes BCH et codes de géométrie algébrique Restriction de Weil Finite fields [MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG] Conic bundles and elliptic fibrations Groupes de Mordell--Weil |
| Zdroj: | Géométrie algébrique [math.AG]. Université Paris-Saclay, 2021. Français. ⟨NNT : 2021UPASM001⟩ |
| Popis: | In the thesis two tasks arising for elliptic curves of j-invariants 0; 1728 are considered. These curves are known to have priority in pairing-based cryptography. The first task is devoted to the point compression of an elliptic curve, and the second one to the construction of a mapping from a finite field to the point group of an elliptic curve over it. To derive the corresponding explicit formulas, we use rathernon-trivial methods of birational geometry over finite fields, along with the theory of (generalized) Kummer surfaces. In contrast to the already known approaches to solving the mentioned tasks, ours require fewer exponentiations in the base field. This is significant, since in general even one exponentiation is considered a quite time-consuming operation. The thesis also studies a wide class of algebraic geometry (AG) codes on non-split toric surfaces, which we call non-split toric codes. Many of them are contained in a well-known class of q-ary BCH codes that can be quickly decoded (compared with AG ones). On the other hand, the theory of BCH codes (in contrast to AG ones) is not deep enough to exactly estimate their parameters. More precisely, to calculate the minimum distance of some non-split toric BCH codes, we use the theory of elliptic curves over finite fields.; Dans la thèse deux tâches se posant pour des courbes elliptiques de j-invariants 0; 1728 sont considérées. Ces courbes sont connues pour être prioritaires en cryptographie à base de couplages. La première tâche est consacrée à la compression de points d'une courbe elliptique, et la seconde à la construction d'une application d'un corps fini dans le groupe des points d'une courbe elliptique sur lui. Pour dériver les formules explicites correspondantes, nous utilisons des méthodes peu banales de géométrie birationnelle sur des corps finis, ainsi que la théorie des surfaces de Kummer (généralisées). Contrairement aux approches déjà connues pour résoudre les tâches mentionnées, les nôtres nécessitent moins d'exponentiations dans le corps de base. C'est important, car en général, même une seule exponentiation est considérée comme une opération assez longue. La thèse étudie également une large classe de codes (AG) de géométrie algébrique sur des surfaces toriques non déployées que nous appelons codes toriques non déployés. Beaucoup d'entre eux sont contenus dans une classe bien connue de codes BCH q-aires qui peuvent être décodés rapidement (par rapport à ceux AG). En revanche, la théorie des codes BCH (contrairement à ceux AG) n'est pas assez profonde pour estimer exactement leurs paramètres. Plus précisément, pour calculer la distance minimale de certains codes BCH toriques non déployés, nous utilisons la théorie des courbes elliptiques sur des corps finis. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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