On the Cremona group and it's subgroups
| Autor: | Usnich, Alexandr |
|---|---|
| Přispěvatelé: | Bupmc, Theses, Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES), IHES, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, Maxim Kontsevich |
| Jazyk: | angličtina |
| Rok vydání: | 2008 |
| Předmět: |
piece-wise linear geometry
représentation linéaire groupe T de Thompson mirror symmetry dg-catégorie Cremona group symétrie miroir quanti cation par déformation Thompson group T toric surface surface torique presentation in generators and relations birational invariant non-commutative geometry catégorie dérivée des faisceaux cohérents présentation en générateurs et relations [MATH.MATH-AG] Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG] triangulated category algèbre homologique groupe de Picard le groupe de Cremona Algebraic geometry deformation quantization Géométrie algébrique homological algebra Picard group algèbre amassée [MATH.MATH-AG]Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG] derived category of coherent sheaves géométrie non-commutative mutation géométrie linéaire par morceau dg-category invariant birationnel cluster algebra catégorie triangulée |
| Zdroj: | Algebraic Geometry [math.AG]. Université Pierre et Marie Curie-Paris VI, 2008. English. ⟨NNT : 2008PA066376⟩ |
| Popis: | The thesis consists of three parts: 1. Group theory. Here we emphasize the role of the mutation, which is some element of the Thompson group T. In particular using mutations we get a new presentation of this group in terms of generators and relations. 2. Birational geometry. We study the action of the Cremona group and some of it's subgroups on the projective plane. In particular we are interested in the subgroup Symp of the Cremona group, that preserve the logarithmic Poisson bracket, and in it's subgroup H generated by cluster mutations and by SL(2;Z). We construct a projective system of surfaces, on which this groups act by regular automorphisms, and then we deduce a linear presentation of H in the inductive limit of Picard groups of rational surfaces. 3. Homological algebra. For an algebraic variety we construct a triangulated category which depends only on it's birational class. Using the techniques of the quotients of dg-categories we compute such a triangulated category for a rational surface. As a consequence we obtain an action of the Cremona group on the non-commutative ring by outer automorphisms. We give applications of this results to the formulas of non-commutative cluster mutations. Ce travail peut être divisé en trois partie: 1. Théorie des groupes. Il s'agit ici d'une étude de la structure du groupe T de Thompson. On explique la notion de la mutation linéaire par morceaux et on obtient la nouvelle présentation de ce groupe en termes des génerateurs et relations. 2. Géometrie birationnelle. On étudie en détail le groupe de Cremona qui est un groupe des automorphismes birationnels du plan projectif. En particulier on s'interesse à son sous-groupe Symp des elements qui préserve le crochet de Poisson dit logarithmique, aussi bien qu'à un sous-groupe H engendré par SL(2,Z) et par les mutations. On construit des limites projectives des surfaces sur lesquelles ces groupes agissent régulièrement, et on en déduit les répresentations linéaires de ces groupes dans les limites inductives des groupes de Picard des surfaces. 3. Algèbre homologique. A partir d'une variété algébrique on construit une catégorie triangulée qui ne dépend que de sa classe birationnelle. En utilisant la technique de quotient de dg-catégories, on calcule explicitement cette catégorie pour les surfaces rationnelles. Comme consequence on obtient l'action du groupe de Cremona sur une algébre non-commutative par les automorphismes extérieures. On donne les applications de ces résultats aux formules des mutations des variables non-commutatives. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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