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Cette thèse est dédiée à la conception et à l'étude d'une structure de boucle de raffinement auto-adaptative pour résoudre de manière fiable les équations intégrales acoustiques. Notre démarche est de revisiter l'ensemble des briques constitutives de cette architecture pour en améliorer l'efficacité algorithmique ainsi que la facilité d'utilisation, et vue d'en démocratiser son usage.Notre approche consista d'abord à étudier un schéma numérique de Galerkin discontinu. Cette méthode rend en effet possible l'utilisation de maillages $hp$ non-conformes et l'optimisation et la simplification de la construction de l'espace d'approximation. Nous fournissons une étude théorique détaillée de cette méthode et démontrons sa stabilité. Un ensemble d'expériences numériques a permis de confirmer le bon comportement pratique du schéma numérique.Nous avons ensuite adapté une méthode de compression matricielle basée sur une approche par interpolation directionnelle $mathcal{DH}^{2}$ ainsi que sa recompression algébrique. Un ensemble d'optimisations originales a été introduite en vue d'obtenir un algorithme efficace dans le cas de matrices issues du schéma de Galerkin discontinu. Nous obtenons textit{in fine} une compression robuste vis-à-vis de la fréquence et de l'hétérogénéité du maillage. Une analyse de complexité ainsi qu'un nombre conséquent d'expériences numériques, dont des comparaisons avec une $mathcal{H}$-matrice, sont également proposés.La dernière partie de la thèse fut d'abord dédiée à la construction d'un estimateur d'erreur textit{a posteriori} adapté au schéma de Galerkin discontinu qui soit fiable et local. Il est basé sur une approche de type résidu. Cet outil est indispensable pour guider le processus de raffinement local du maillage. Nous avons ensuite exploré un ensemble de procédures de raffinement local en $h$ et en $hp$ non-conformes. Cela permit de confirmer l'intérêt d'un raffinement $hp$ non-conforme, qui offre un meilleur taux de convergence de l'estimateur par rapport au raffinement en $h$ conforme. Une autre contribution originale de notre travail est de proposer un estimateur d'erreur qui prenne en compte l'ensemble des contributions à l'erreur globale : l'erreur de discretisation, l'erreur de résolution du système linéaire et l'erreur de compression. Cette finesse de description de l'erreur nous a permis d'automatiser le réglage de l'ensemble des paramètres de la boucle de raffinement auto-adaptative. Nous aboutissons finalement à une architecture de calcul extrêmement simple d'utilisation. This work is dedicated to the design and the study of an auto-adaptive loop refinement architecture for solving the acoustic integral equations. Our objective is to work on each part of the architecture (numerical scheme, compression algorithm and textit{a posteriori} error estimate) in order to improve the overall efficiency of this structure and to ease its use as well.We first introduce a discontinuous Galerkin numerical scheme. Indeed this method allows to use $hp$ non-conforming meshes which is a key to optimize and simplify the construction of the approximation space. We provide a theoretical study of the scheme and prove its stability. Several numerical experiments confirm the good behaviour of the method.We then introduce a matrix compression algorithm based on a directional interpolation approximation called $mathcal{DH}^{2}$-matrix and its algebraic recompression. We introduced a number of original optimizations in order to obtain a computationally efficient method in a discontinuous Galerkin context. The final compression algorithm is shown to be reliable in case of heterogeneous meshes and for low and high frequencies. We conducted a consequent number of numerical experiments in order to assess the practical performances of the $mathcal{DH}^{2}$-matrix. In particular, comparisons with $mathcal{H}$-matrix are proposed and confirm the higher performances of the proposed compression.In the last part of our work, we first introduce an textit{a posteriori} error estimate specialized to the discontinuous Galerkin scheme which is reliable and local. It is based on a residual approach. This tool is instrumental as it guides the local refinement procedure. We then explored and compared some $h$ and $hp$ non-conforming refinement algorithms. We confirm that we can obtain better rates of convergence of the error estimate with non-conforming $hp$ meshes in integral equations. Another original contribution of our work is to propose an error estimate which explicitly takes into account all the main contributors to the global error: the discretization error, the algebraic error and the compression error. This detailed description of the error is our key tool in order to propose a way to automatically set the parameters of the auto-adaptive loop. We therefore obtain a numerical method which reveals itself to be extremely simple for the user. |
