Якісне дослідження деякого сингулярного функціонально--диференціального рівняння
| Jazyk: | ukrajinština |
|---|---|
| Rok vydání: | 2020 |
| Předmět: |
функционально-дифференциальные уравнения
задача Коши асимптотика решений сингулярная задача непрерывно -дифференцируемое решение функции Ляпунова функціонально-диференціальні рівняння задача Коши асимптотика розв'язків сингулярна задача неперервно-диференційований розв'язок функції Ляпунова functional differential equation initial value problem solution asymptotics singular problem continuously differentiable solution Lyapunov functions |
| Zdroj: | Дослідження в математиці і механіці; Том 25, № 1(35) (2020); 82-98 Researches in Mathematics and Mechanics; Том 25, № 1(35) (2020); 82-98 |
| ISSN: | 2519-206X |
| Popis: | A singular Cauchy problem for functional differential equations of a certain type is considered, solved for the derivative of the unknown function. Solutions are sought in the class of continuously differentiable functions. It is proved that there exists a nonempty set of continuously differentiable solutions having certain asymptotic properties in a sufficiently small neighborhood of the singular point. Construction of the asymptotic behavior of solutions is as important result as proof of the existence of solutions. To study the task, a technique was used that combines elements of the theory of functions and the qualitative theory of differential equations. Moreover, a qualitative analysis was applied not only in constructing a certain nonlinear operator, but also in proving that this operator satisfies the conditions of the fixed-point theorem. This technique, in our opinion, can be used for a wide range of problems of the theory of nonlinear ordinary differential equations. Рассматривается сингулярная задача Коши для функционально-дифференциального уравнения определенного типа, разрешенного относительно производной неизвестной функции. Решения ищутся в классе непрерывно-дифференцируемых функций. Доказывется, что существует непустое множество непрерывно-дифференцируемых решений, имеющих определенные асимптотические свойства в достаточно малой окрестности особой точки. Построение асимптотики решений является не менее важным результатом, чем доказательство существования решений. Для исследования поставленной задачи использована методика, соединяющая элементы теории функций и качественной теории дифференциальных уравнений. При этом качественный анализ применен не только при построении некоторого нелинейного оператора, но и при доказательстве того, что этот оператор удовлетворяет условиям теоремы о неподвижной точке. Эта методика, по нашему мнению, может быть использована при решении широкого класса задач нелинейной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Розглядається сингулярна задача Коші для функціонально-диференціального рівняння деякого типу, яке розв'язано відносно похідної невідомої функції. Розв'язки шукаються в класі неперервно-диференційованих функцій. Доводиться, що існує непуста множина неперервно диференційовних розв'язків, що мають певні асимптотичні властивості в досить малому напівоколі особливої точки. Побудована асимптотика розв'язків є не менш важливою, ніж доведення існування розв'язків. Для дослідження поставленої задачі використовується методика, яка поєднує елементи теорії функцій і якісної теорії диференціальних рівнянь. При цьому якісний аналіз використано не тільки при побудові деякого нелінійного оператора,але і при доведені того, що цей оператор задовільняє умовам теореми о нерухомій точці. Ця методіка, на наш погляд, може бути використана при розв'язувані широкого класу задач нелінійної теорії звичайних диференціальних рівнянь. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
|