Різницеві схеми для задач динаміки
| Jazyk: | ukrajinština |
|---|---|
| Rok vydání: | 2021 |
| Předmět: | |
| Zdroj: | Strength of Materials and Theory of Structures; No. 107 (2021); 133-139 Опір матеріалів і теорія споруд; № 107 (2021); 133-139 |
| ISSN: | 2410-2547 |
| DOI: | 10.32347/2410-2547.2021.107 |
| Popis: | To solve dynamics problems in the LIRA 10.12 software package, the difference scheme is used, known as modified central difference method. The goal of dynamic problems solving is to get a good approximation of actual dynamic response of a given structure. It's a matter of convergence conditions of the difference scheme used in numerical integration of motion equations. The solution of the linear dynamic problem for all possible displacements satisfies the equations , , , – symmetric positive-definite bilinear functionals of possible work of the internal and inertial forces and motion resistance forces, they correspond to stiffness matrices, mass and damping matrices, – linear functional of possible work of the external forces. After approximation in spatial variables (usually the finite element method is applied) we obtain the system of ordinary differential equations , , , – stiffness matrices, mass and damping matrices, – external forces. Difference scheme of modified central difference method we obtain by replacing the values of functions and derivatives with corresponding difference relations. Difference relations, which are applied in modified central difference method, approximate accelerations , velocities and displacements with an error proportional to the square of the time step. Approximation and stability are the convergence conditions of the difference scheme. To study the stability of difference schemes, we assume that and apply the obvious equations , . Let us denote , apply the Cauchy inequality on the right-hand side and integrate the resulting inequality. Then , where are positive constants. The boundedness follows from the Gronwall's lemma. In addition to the continual version of study of the difference schemes stability, the discrete version is also considered. Unconditional practical efficiency of the modified central difference method and the simplicity of its underlying principles allow it to be successfully applied to a wide range of dynamic problems. Для розв’язання динамічних задач в програмному комплексі ЛІРА10.12 використовується різницева схема, відома як модифікований метод центральних різниць. Метою розв'язання динамічних задач є отримання хорошого наближення дійсної динамічної реакції даної конструкції – це питання умов збіжності різницевої схеми, що використовується при чисельному інтегруванні рівнянь руху. Рішення лінійної динамічної задачі при всіх можливих переміщеннях задовольняє відношенню рівності , , , – симетричні позитивно визначені білінійні функціонали можливих робіт внутрішніх і інерційних сил і сил опору руху, вони відповідають матрицями жорсткості, мас і демпфірування, – лінійний функціонал можливої роботи зовнішніх сил. Після апроксимації по просторовим змінним (зазвичай застосовується метод скінчених елементів) отримуємо систему звичайних диференціальних рівнянь , , , – матриці жорсткості, мас і демпфірування, – зовнішні сили. Різницеву схему модифікованого методу центральних різниць отримуємо, замінивши значення функцій і похідних відповідними різницевими відношеннями. Різницеві відношення, що застосовуються в модифікованому методі центральних різниць, апроксимують прискорення , швидкості та переміщення з похибкою, пропорційною квадрату кроку за часом. Умовами збіжності різницевої схеми є апроксимація і стійкість. Для дослідження стійкості різницевих схем покладемо і застосуємо очевидні рівності , . Позначимо , застосуємо в правій частині нерівність Коші і проінтегруємо отриману нерівність. Тоді , де додатні константи. З леми Гронуолла випливає обмеженість . Крім континуального варіанта дослідження стійкості різницевих схем розглянуто і дискретний. Безумовна практична працездатність модифікованого методу центральних різниць і простота посилок, що лежать в його основі дозволяють успішно застосовувати його до широкого кола динамічних задач. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
|