Uma fundamentação para sinais e sistemas intervalares

Autor: Santana, Fabiana Tristão de
Přispěvatelé: Lyra, Aarão, Guerreiro, Ana Maria Guimarães, Reiser, Renata Hax Sander, Dória Neto, Adrião Duarte, Santiago, Regivan Hugo Nunes
Jazyk: portugalština
Rok vydání: 2011
Předmět:
Zdroj: Repositório Institucional da UFRN
Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN)
instacron:UFRN
Popis: Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior In this work we use Interval Mathematics to establish interval counterparts for the main tools used in digital signal processing. More specifically, the approach developed here is oriented to signals, systems, sampling, quantization, coding and Fourier transforms. A detailed study for some interval arithmetics which handle with complex numbers is provided; they are: complex interval arithmetic (or rectangular), circular complex arithmetic, and interval arithmetic for polar sectors. This lead us to investigate some properties that are relevant for the development of a theory of interval digital signal processing. It is shown that the sets IR and R(C) endowed with any correct arithmetic is not an algebraic field, meaning that those sets do not behave like real and complex numbers. An alternative to the notion of interval complex width is also provided and the Kulisch- Miranker order is used in order to write complex numbers in the interval form enabling operations on endpoints. The use of interval signals and systems is possible thanks to the representation of complex values into floating point systems. That is, if a number x 2 R is not representable in a floating point system F then it is mapped to an interval [x;x], such that x is the largest number in F which is smaller than x and x is the smallest one in F which is greater than x. This interval representation is the starting point for definitions like interval signals and systems which take real or complex values. It provides the extension for notions like: causality, stability, time invariance, homogeneity, additivity and linearity to interval systems. The process of quantization is extended to its interval counterpart. Thereafter the interval versions for: quantization levels, quantization error and encoded signal are provided. It is shown that the interval levels of quantization represent complex quantization levels and the classical quantization error ranges over the interval quantization error. An estimation for the interval quantization error and an interval version for Z-transform (and hence Fourier transform) is provided. Finally, the results of an Matlab implementation is given Neste trabalho utiliza-se a matemática intervalar para estabelecer os conceitos intervalares das principais ferramentas utilizadas em processamento digital de sinais. Mais especificamente, foram desenvolvidos aqui as abordagens intervalares para sinais, sistemas, amostragem, quantização, codificação, transformada Z e transformada de Fourier. É feito um estudo de algumas aritméticas que lidam com números complexos sujeitos à imprecisões, tais como: aritmética complexa intervalar (ou retangular), aritmética complexa circular, aritmética setorial e aritmética intervalar polar. A partir daí, investiga-se algumas propriedades que serão relevantes para o desenvolvimento e aplicação no processamento de sinais discretos intervalares. Mostra-se que nos conjuntos IR e R(C), seja qual for a aritmética correta adotada, não se tem um corpo, isto é, os elementos desses conjuntos não se comportam como os números reais ou complexos com suas aritméticas clássicas e que isso irá requerer uma avaliação matemática dos conceitos necessários à teoria de sinais e a relação desses com as aritméticas intervalares. Também tanto é introduzido o conceito de amplitude intervalar complexa, como alternativa à definição clássica quanto utiliza-se a ordem de Kulisch-Miranker para números complexos afim de que se escreva números complexos intervalares na forma de intervalos, o que torna possível as operações através dos extremos. Essa relação é utilizada em propriedades de somas de intervalos de números complexos. O uso de sinais e sistemas intervalares foi motivado pela representação intervalar num sistema de ponto flutuante abstrato. Isto é, se um número x 2 R não é representável em um sistema de ponto flutuante F, ele é mapeado para um intervalo [x;x], tal que x é o maior dos números menores que x representável em F e x é o menor dos números maiores que x representável em F. A representação intervalar é importante em processamento digital de sinais, pois a imprecisão em dados ocorre tanto no momento da medição de determinado sinal, quanto no momento de processá-los computacionalmente. A partir daí, define-se sinais e sistemas intervalares que assumem tanto valores reais quanto complexos. Para isso, utiliza-se o estudo feito a respeito das aritméticas complexas intervalares e mostram-se algumas propriedades dos sistemas intervalares, tais como: causalidade, estabilidade, invariância no tempo, homogeneidade, aditividade e linearidade. Além disso, foi definida a representação intervalar de funções complexas. Tal função estende sistemas clássicos a sistemas intervalares preservando as principais propriedades. Um conceito muito importante no processamento digital de sinais é a quantização, uma vez que a maioria dos sinais é de natureza contínua e para processá-los é necessário convertê-los em sinais discretos. Aqui, este processo é descrito detalhadamente com o uso da matemática intervalar, onde se propõem, inicialmente, uma amostragem intervalar utilizando as idéias de representação no sistema de ponto flutuante. Posteriormente, são definidos níveis de quantização intervalares e, a partir daí, é descrito o processo para se obter o sinal quantizado intervalar e são definidos o erro de quantização intervalar e o sinal codificado intervalar. É mostrado que os níveis de quantização intervalares representam os níveis de quantização clássicos e o erro de quantização intervalar representa o e erro de quantização clássico. Uma estimativa para o erro de quantização intervalar é apresentada. Utilizando a aritmética retangular e as definições e propriedades de sinais e sistemas intervalares, é introduzida a transformada Z intervalar e são analisadas as condições de convergência e as principais propriedades. Em particular, quando a variável complexa z é unitária, define-se a transformada de Fourier intervalar para sinais discretos no tempo, além de suas propriedades. Por fim, foram apresentadas as implementações dos resultados que foram feitas no software Matlab
Databáze: OpenAIRE
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