| Popis: |
RESUMEN: El descubrimiento de la geometría hiperbólica supuso la apertura de un nuevo horizonte donde por un punto exterior a una recta pasaban infinitas rectas paralelas y la suma de los ángulos interiores de un triángulo era menor que π. En este trabajo haremos un estudio de las principales propiedades de esta geometría y, para ello, utilizaremos el método axiomático. Es decir, partiremos de una serie de axiomas y usando reglas de deducción obtendremos una cadena de teoremas y proposiciones que serán consecuencia de dichos axiomas. Además, se analizará la evolución que sufrió la geometría hasta llegar al descubrimiento de la geometría hiperbólica. Por ello, se hará un breve repaso del trabajo llevado a cabo por Euclides para desarrollar la geometría euclidiana así como del proceso de desarrollo del sistema axiomático hasta llegar a los axiomas de Hilbert. Posteriormente, se estudiará la geometría absoluta, que es un tipo de geometría no euclidiana surgida al eliminar el postulado de las paralelas de Euclides. Se trata, por tanto, de un sistema axiomático incompleto en el que, todos los teoremas que estudiemos, serán válidos tanto en geometría euclidiana como hiperbólica. Por ´ultimo, analizaremos las principales características de la geometría hiperbólica e introduciremos los módelos de Beltrami-Klein y de Poincaré, que nos permitirán establecer una correlación entre las geometrías hiperbólica y euclidiana. Además, estudiaremos que razones trigonométricas se cumplen en esta geometría. ABSTRACT: The discovery of hyperbolic geometry led to the opening of a new horizon where an infinite number of parallel lines passed through a point outside a line and the sum of the interior angles of a triangle was less than π. In this work we will make a study of the main properties of this geometry and, for this, we will use the axiomatic method. That is, we will start from a series of axioms and using deduction rules we will obtain a chain of theorems and propositions that will be a consequence of said axioms. In addition, the evolution that geometry underwent until reaching the discovery of hyperbolic geometry will be analyzed. For this reason, a brief review will be made of the work carried out by Euclid to develop Euclidean geometry as well as the process of developing the axiomatic system until reaching Hilbert’s axioms. Subsequently, absolute geometry will be studied, which is a type of non-Euclidean geometry that arose by eliminating Euclid’s parallel postulate. It is, therefore, an incomplete axiomatic system in which all the theorems we study will be valid in both Euclidean and hyperbolic geometry. Finally, we will analyze the main characteristics of hyperbolic geometry and we will introduce the Beltrami Klein and Poincar´e models, which will allow us to establish a connection between hyperbolic and Euclidean geometries. In addition, we will study what trigonometric ratios are fulfilled in this geometry. Grado en Matemáticas |
