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In this thesis I aim to investigate ground-state properties of a quantum-mechanical long-range interacting spin model at temperature T=0K. Paradigmatic models such as the Ising model are mostly limited to nearest-neighbor interactions. However, their long-range counterparts often display a drastically different behavior. Long-range interactions can induce an effective dimensionality into the system, leading to continuously varying critical exponents of quantum phase transitions in ferromagnetic systems and the appearance of multiplicative logarithmic corrections. For antiferromagnetic interactions frustration can result in the appearance of new phases. During the last decades several studies of such models have been performed with various methods. Exact diagonalization and Quantum Monte-Carlo calculations are yet limited to finite system sizes. Density-matrix renormalization-group methods allow handling infinite sizes but results are only available for (quasi-)one-dimensional models. In this thesis, a method is presented which allows the computation of quantitative results for gapped quantum-many-body systems with long-range interactions in the bulk limit based on a perturbative approach. Perturbative continuous unitary transformations are combined with Monte-Carlo methods for an evaluation of nested infinite sums and Padé extrapolations to extract critical behavior. Long-range-interacting Ising models in a transverse magnetic field were analyzed, where the interaction decays algebraically as r^(-α) with inter-spin distance r. The investigation of low-energy excitation gaps was used to determine phase diagrams and critical exponents for multiple different lattice geometries. For ferromagnetic spin-spin interactions a phase transition from a polarized paramagnetic phase in the high-field limit to an ordered phase, which breaks the Z2 symmetry, was found in all cases. Depending on α renormalization-group calculations predict three different regimes. For small α mean-field criticality is expected while for large values systems are supposed to display nearest-neighbor exponents. Continuously-varying critical exponents that are expected to exist in between could be confirmed in this thesis. In one and two dimensions multiplicative logarithmic corrections were found that are expected for the nearest-neighbor model only on the cubic lattice in three dimensions. This strengthens the interpretation of the long-range model as having similar properties as the short-range-interacting model in an effective dimension. While in this thesis frustration effects induced by an antiferromagnetic interaction were already found for bipartite lattices, these are especially interesting for models that are already highly frustrated in the nearest-neighbor case. For the Ising model on the triangular lattice additional stripe-ordered phases were found, leading to an increased complexity of the ground-state phase diagram. After mapping the triangular lattice to a finite cylinder, indications for infinite-order phase transitions appeared that require further studies in the future. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung der Grundzustandseigenschaften langreichweitiger quantenmechanischer Spinmodelle bei einer Temperatur T=0K. Lehrbuchbeispiele für die theoretische Beschreibung magnetischer Quantensysteme wie das Isingmodell sind meist auf kurzreichweitige Wechselwirkungen beschränkt. Ihre langreichweitigen Gegenstücke zeigen jedoch häufig ein drastisch unterschiedliches Verhalten. Im Allgemeinen führen sie zu einer effektiven Dimensionalität der Systeme und erlauben so bei ferromagnetischen Modellen eine kontinuierliche Variierung kritischer Exponenten von Quantenphasenübergängen und das Auftreten logarithmischer Korrekturen. Bei antiferromagnetischen Wechselwirkungen kommen Frustrationseffekte zum Tragen, die die Enstehung neuer Phasen befördern können. In den letzten Jahrzehnten gab es deshalb immer wieder Untersuchungen solcher Modelle mit verschiedenen Methoden. In Beispielen wie der exakten Diagonalisierung und Quanten-Monte-Carlo Rechnungen sind die untersuchten Systeme jedoch stets auf endliche Systemgrößen beschränkt. Dichtematrix-Renormalisierungsgruppen erlauben zwar die Untersuchung unendlicher Systeme, konnten jedoch bisher nur (quasi-)eindimensionale Modelle behandeln. In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode vorgestellt, die quantitative Ergebnisse für unendlich große lückenbehaftete Quantenvielteilchensysteme mit langreichweitigen Wechselwirkungen liefern kann, beruhend auf einem störungstheoretischen Ansatz. Perturbative kontinuierliche unitäre Transformationen wurden komplementiert mit Monte-Carlo Methoden zur Auswertung verschachtelter unendlicher Summen und Padé Extrapolationen, um das kritische Verhalten zu bestimmen. Es wurden langreichweitige Isingmodelle in einem transversalen Magnetfeld analysiert, deren Spin-Spin-Wechselwirkungen algebraisch mit dem Abstand $r$ wie r^(-α) abfallen. Zur Bestimmung von Phasendiagrammen und kritischen Exponenten für diverse Gittergeometrien wurden dazu hauptsächlich die Energielücken von Niedrigenergieanregungen im Hochfeldlimes studiert. Für ferromagnetische Spin-Spin-Wechselwirkungen konnten in allen betrachteten Fällen Quantenphasenübergänge zwischen einer ungeordneten paramagnetischen Phase, in der die einzelnen Spins parallel zum Magnetfeld polarisiert sind, und einer geordneten Phase, die die Z2-Symmetrie bricht, gefunden werden. Renormierungsgruppenbasierte Rechnungen sagen drei Bereiche unterschiedlicher Kritikalität voraus. Für kleine Werte von α wird eine der Molekularfeldtheorie entsprechende Kritikalität, im Bereich großer α Nächste-Nachbar-Kritikalität erwartet. Die dazwischen prognostizierten, kontinuierlich variierenden kritischen Exponenten konnten im Rahmen der hier präsentierten Methode bestätigt werden. Zudem fanden sich auch in ein und zwei Dimensionen multiplikative logarithmische Korrekturen, die für das kurzreichweitige Quantenmodell erst für ein dreidimensionales kubisches Gitter erwartet werden. Dies bestätigt die Interpretation des Modells mit langreichweiten Wechselwirkungen als ein kurzreichweitiges Modell in einer effektiven Dimension. Während in der vorliegenden Arbeit Effekte der Frustration durch eine antiferromagnetische Wechselwirkung schon bei bipartiten Gittern sichtbar wurden, sind diese besonders interessant für Gitter, bei denen das Isingmodell mit Nächster-Nachbar-Wechselwirkung bereits frustriert ist. Bei der Untersuchung des Isingmodells auf dem Dreiecksgitter konnten deutliche Hinweise für eine größere Reichhaltigkeit des Phasendiagramms mit der Existenz zusätzlicher Streifenphasen gefunden werden, die durch das Einführen langreichweitiger Wechselwirkung bedingt ist. Für Dreiecksgitter, abgebildet auf einen endlichen Zylinder, wurden zudem Hinweise auf mögliche exotische Quantenphasenübergänge unendlicher Ordnung gefunden, die jedoch weitere zukünftige Untersuchungen erfordern. |
