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We work in the setting of time series of financial returns. Our starting point are the GARCH models, which are very common in practice. We introduce the possibility of having crashes in such GARCH models. A crash will be modeled by drawing innovations from a distribution with much mass on extremely negative events, while in ''normal'' times the innovations will be drawn from a normal distribution. The probability of a crash is modeled to be time dependent, depending on the past of the observed time series and/or exogenous variables. The aim is a splitting of risk into ''normal'' risk coming mainly from the GARCH dynamic and extreme event risk coming from the modeled crashes. We will present several incarnations of this modeling idea and give some basic properties like the conditional first and second moments. For the special case that we just have an ARCH dynamic we can establish geometric ergodicity and, thus, stationarity and mixing conditions. Also in the ARCH case we formulate (quasi) maximum likelihood estimators and can derive conditions for consistency and asymptotic normality of the parameter estimates. In a special case of genuine GARCH dynamic we are able to establish L_1-approximability and hence laws of large numbers for the processes itself. We can formulate a conditional maximum likelihood estimator in this case, but cannot completely establish consistency for them. On the practical side we look for the outcome of estimating models with genuine GARCH dynamic and compare the result to classical GARCH models. We apply the models to Value at Risk estimation and see that in comparison to the classical models many of ours seem to work better although we chose the crash distributions quite heuristically. Wir arbeiten im Kontext von Renditezeireihen. Ausgangspunkt sind die in der Praxis sehr häufig verwendeten GARCH Modelle. In diese GARCH Modellen führen wir Crashmöglichkieten ein. Einen Crash modellieren wir indem wir Innovationen aus Verteilungen mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit für extrem negative Events ziehen. In "normalen" Zeiten werden die Innovationen hingegen aus einer Normalverteilung gezogen. Die Crashwarscheinlichkeiten modellieren wir zeitabhängig, in Abhängigkeit von der beobachteten Zeitreihe und/oder exogenen Variablen. Das Ziel ist eine Aufspaltung des Risikos in "normales" Risiko, das haupsächlich durch die GARCH-Dynamik induziert wird, und das Risiko extremer Events, das auf den modellierten Crashs beruht. Wir präsentieren verschiedene Versionen dieser Modellierungsidee und zeigen einige Grundlegende Eigenschaften, zum Beispiel die ersten beiden bedingten Momente, auf. Im Spezialfall einer reinen ARCH-Dynamik können wir Bedingungen für Geometrische Ergodizität und so auch für Stationarität und Mixing finden. Ebenfalls im ARCH Fall formulieren wir (Quasi-) Maximum Likelihood Schätzer und können Bedingungen für Konsitenz und Asymptotische Normalität dieser Schätzer ableiten. In einem Spezialfall mit echter GARCH-Dynamic können wir L_1-Approximierbarkeit beweisen und so Gesetze Grosser Zahlen für diese Prozesse etablieren. Wir können in diesem Fall Maximum Likelihood Schätzer formulieren, aber deren Konsitenz nicht vollständig beweisen. Auf der praktischen Seite schätzen wir Modelle mit echter GARCH-Dynamik und vergleichen diese mit klassischen GARCH Modellen. Wir benutzen die Modelle zur Value at Risk Modellierung und stellen fest, dass im Vergleich zu den klassischen Modellen unsere Modelle häufig bessere Ergebnisse liefern, obwohl wir die Crashverteilungen ziemlich heuristisch gewählt haben. |
