Estimation d'une matrice de précision sous mélange de lois de Wishart

Autor: Boukehil, Djamila
Přispěvatelé: STAR, ABES
Jazyk: francouzština
Rok vydání: 2021
Předmět:
Popis: In this thesis, we consider the problem of estimating the precision matrix \Sigma^{-1} of a mixture of Wishart distributions model S \mid V \sim \mathcal{W}_p(n,V \,\Sigma) under various Efron-Morris type losses, L_{k} \{ \Sigma^{-1},\hat\Sigma^{-1}\} = \tr [ \{\hat\Sigma^{-1} - \Sigma^{-1}\}^2 \, S^k ] , for k=1,2,3 \dots. Here S is the p \times p sample covariance matrix, V is a mixing variable which has a known distribution \mathcal{H}(\cdot) on \mathbb{R}_{+} and \mathcal{W}_p(n,V \,\Sigma) denotes the Wishart distribution with n degrees of freedom and positive-definite covariance matrix V \,\Sigma. In a unified approach to the cases where S is invertible and S is singular, we consider the class of usuel estimator a\,S^+ , where S^+ denotes the Moore-Penrose inverse of S (which coincides with the inverse S^{-1} of S when S is invertible) and a is a positive constant, we provide optimal estimators in this class, denoted by a^*\,S^+, under the losses L_1, L_2 and L_3 ; and alternative estimators, denoted by a_0\,S^+, under the losses L_0 and L_k, for k\ge 4, cases where optimal estimators do not exist. As the usual estimators of the form \hat\Sigma^{-1}_{a} = a\,S^+ are inadmissibles, we propose two types of alternative estimators of the form \hat\Sigma^{-1}_{a,c} = a\,S^{+} + c\,S\,G(S) and \hat\Sigma^{-1}_{a,c,r} = a\,S^{+} + c\,r(\tr \{S\}) \,S\,G(S), where c is a positive constant, r(\cdot) is a real function and G(S) is a p \times p homogeneous matrix function of order \alpha. Note that, for both types of estimators, the function G(S) may be orthogonally invariant or not. We develop an unbiased estimator of the risk difference between \hat \Sigma^{-1}_{a,c} (respectively \hat \Sigma^{-1}_{a,c,r}) and \hat \Sigma^{-1}_{a}, relying on a Stein-Haff type identity and we provide conditions on c, G(S) and r(\cdot) so that the estimators \hat\Sigma^{-1}_{a,c} and \hat\Sigma^{-1}_{a,c,r} improve on the estimators \hat\Sigma^{-1}_{a} under the losses L_{k} \{ \Sigma^{-1},\hat\Sigma^{-1}\} = \tr [ \{\hat\Sigma^{-1} - \Sigma^{-1}\}^2 \, S^k ] , for k=1,2,3 \dots. In particular, we give examples of Haff, Dey and Efron-Morris type estimators that dominate the estimators of the form \hat \Sigma^{-1}_a, specifically for a=a^* and a=a_0. Finally, based on the information provided by the estimators of Haff, Dey and Efron-Morris type whose correction function G(S) is homogeneous of degree -2, we highlight the fact that only this degree of homogeneity makes sense. We illustrate this phenomenon in the context of the estimation of a mean vector of a normal distribution by showing that, among the James-Stein type estimators of a certain degree of homogeneity, only the homogeneity of order -2 is valid.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'estimation de la matrice de précision \Sigma^{-1} $ d'un modèle de mélange de lois de Wishart, S \mid V \sim \mathcal{W}_p(n,V \,\Sigma), sous des coûts de type Efron-Morris L_{k} \{ \Sigma^{-1},\hat\Sigma^{-1}\} = \tr [ \{\hat\Sigma^{-1} - \Sigma^{-1}\}^2 \, S^k ] , pour tout $ k=1,2,3 \dots $ . Ici S est une matrice d'observation de dimension p \times p, V est une variable de mélange qui suit une distribution \mathcal{H}(\cdot) connue et définie sur \mathbb{R}^{+} et \mathcal{W}_p(n,V \,\Sigma) représente la distribution de Wishart à n degrés de liberté et de matrice de variance-covariance $ V \,\Sigma. Dans une approche unifiée des deux cas où la matrice $ S $ est inversible et où elle est singulière, nous considérons les estimateurs usuels de type a\,S^+ où a est une constante positive et où S^+ est l'inverse de Moore-Penrose (qui coïncide avec l'inverse S^{-1} de S lorsque S est inversible). Nous fournissons des estimateurs optimaux dans cette classe, notés a^*\,S^+ sous les coûts L_1, L_2 et L_3, et des estimateurs alternatifs, notés $ a_0\,S^+, sous les coûts L_0 et L_k, pour k\ge 4, cas où il n'existe pas d'estimateurs optimal. Étant donné que tous les estimateurs usuels de la forme \hat\Sigma^{-1}_{a} = a\,S^+ sont inadmissibles, nous proposons deux types d'estimateurs alternatifs de la forme \hat\Sigma^{-1}_{a,c} = a\,S^{+} + c\,S\,G(S) $ et \hat\Sigma^{-1}_{a,c,r} = a\,S^{+} + c\,r(\tr \{S\}) \,S\,G(S), où c est une constante positive, r(\cdot) est une fonction réelle et G(S) est une fonction matricielle d'ordre p homogène de degré \alpha. Notons que pour les deux types d'estimateurs, la fonction G(S) peut être ou pas orthogonalement invariante. Grâce à une identité de type Stein-Haff, nous établissons un estimateur sans biais de la différence de risque entre les estimateurs \hat\Sigma^{-1}_{a,c} et \hat\Sigma^{-1}_{a} et nous fournissons des conditions sur c , G(S) et r(\cdot) afin que les estimateurs \hat\Sigma^{-1}_{a,c} et \hat\Sigma^{-1}_{a,c,r} améliorent les estimateurs \hat\Sigma^{-1}_{a}, sous les fonctions de coût L_{k} \{ \Sigma^{-1},\hat\Sigma^{-1}\} = \tr [ \{\hat\Sigma^{-1} - \Sigma^{-1}\}^2 \, S^k ] ,$ pour $ k=1,2,3 \dots. En particulier, nous donnons des exemples d'estimateurs de type Haff, Dey et Efron-Morris qui dominent les estimateurs \hat \Sigma^{-1}_a à travers leur domination sur les estimateurs optimaux \hat\Sigma^{-1}_{a^*} ou les estimateurs raisonnables \hat\Sigma^{-1}_{a_0}. En dernier lieu, à la lumière des estimateurs de type Haff, Dey et Efron-Morris dont la fonction de correction $ G(S) $ est homogène de degré $ -2 $, nous mettons en évidence le fait que seul ce degré d'homogénéité fait sens. Nous illustrons ce phénomène dans le cadre de l'estimation d'un vecteur moyenne d'une loi normale en montrant que, parmi les estimateurs de type James Stein d'un certain degré d'homogénéité, seule l'homogénéité d'ordre -2 est valide
Databáze: OpenAIRE
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