Curve of Descent of a Material Point in the Shortest Time on a Transcendental Surface in a Uniform Vertical Gravitational Field

Autor: Oleksiy V. Atamaniuk, Viktor P. Legeza
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2019
Předmět:
Surface (mathematics)
time functional
рівняння Ейлера–Лагранжа
трансцендентная поверхность
вариационная задача
циклоида
Euler–Lagrange equation
трансцендентна поверхня
517.988.38
функционал времени
время быстродействия
Gravitational field
brachystochronous motion
Point (geometry)
cycloid
response time
брахистохронное движение
уравнение Эйлера–Лагранжа
Parametric equation
Mathematics
transcendental surface
Mathematical analysis
час швидкодії
циклоїда
варіаційна задача
variational problem
Action (physics)
Algebraic equation
брахістохронний рух
Generatrix
функціонал часу
Popis: Проблематика. В статті розглядається оригінальна варіаційна задача про брахістохронний рух матеріальної точки на циклоїдальній поверхні між двома заданими точками у вертикальному однорідному гравітаційному полі. Новизна і актуальність роботи пояснюються вибором трансцендентної поверхні, оскільки раніше рух матеріальної точки розглядався на алгебричних поверхнях другого порядку. Мета дослідження. Знайти криву на трансцендентній поверхні, рухаючись по якій від однієї заданої точки (точки старту) до іншої заданої точки (точки фінішу) по цій поверхні без тертя матеріальна точка здійснить такий перехід за мінімальний час. Трансцендентна поверхня має за напрямну криву циклоїду, що лежить в одній із координатних площин, а її твірні перпендикулярні цій площині. Методика реалізації. Для досягнення зазначеної мети в роботі використовувались класичні методи варіаційного числення (рівняння Ейлера–Лагранжа), а також класичний метод інтегрування звичайних диференціальних рівнянь (метод Бернуллі). Результати дослідження. Побудовано функціонал часу, з використанням якого аналітично виведено диференціальні рівняння просторової брахістохрони, що лежить на трансцендентній поверхні. Після інтегрування в замкненій формі отримано алгебричні рівняння просторової брахістохрони у параметричній формі. Результати дослідження проілюстровано графічно: наведено проекції траєкторії брахістохрони на координатні площини OXY і OXZ. Визначено кути нахилу оптимальної траєкторії у точці старту. Наведено порівняльний аналіз часу швидкодії в процесі руху матеріальної точки вздовж двох траєкторій: вздовж брахістохрони та вздовж альтернативної траєкторії. Висновки. Запропонований підхід дає змогу наперед прокласти такий логістичний маршрут матеріальної точки на заданій трансцендентній поверхні між двома фіксованими точками, який забезпечить мінімальний час переміщення між ними в однорідному вертикальному полі тяжіння. В цьому разі екстремальною траєкторією не обов’язково буде найкоротша лінія, яка лежить на поверхні і з’єднує дві задані точки (старту і фінішу). Background. The article deals with the original variational problem of the brachystochronous motion of a material point on a cycloidal surface between two given points in a vertically homogeneous gravitational field. The novelty and relevance of the work is explained by the choice of the transcendental surface, since earlier the motion of a material point was considered on algebraic surfaces of the second order. Objective. Find a curve on the transcendental surface, moving from one set point (starting point) to another set point (finish point) on this surface without friction a material point will make such a transition in a minimum time. The transcendental surface has a guide curve of the cycloid lying in one of the coordinate planes, and its generatrix are perpendicular to that plane. Methods. To achieve this goal, we used the classical methods of variational calculus (Euler–Lagrange equation), as well as the classical method of integrating ordinary differential equations in a closed form (Bernoulli method). Results. A time functional was constructed, using which the differential equations of the spatial brachystrochron, which lies on the transcendental surface, are analytically deduced. After integration in a closed form, algebraic equations of the spatial brachystrochron in parametric form are obtained. The results of the study are illustrated graphically: the projections of the trajectory of the brachystrochron on the coordinate planes OXY and OXZ. The slope angles of the optimal trajectory at the start point are determined. A comparative analysis of the time of action in the process of motion of a material point along two trajectories is carried out: along the obtained brachystrochron and along the alternative trajectory. Conclusions. The proposed approach allows to pre-plot such a logistic route of a material point on a given transcendental surface between two fixed points, which will provide a minimum travel time between them in a uniform vertical gravity field. In this case, an extreme trajectory will not necessarily be the shortest line on the surface that connects the two predetermined points (start and finish). Проблематика. В статье рассматривается оригинальная вариационная задача о брахистохронном движении материальной точки на циклоидальной поверхности между двумя заданными точками в вертикальном однородном гравитационном поле. Новизна и актуальность работы объясняются выбором трансцендентной поверхности, так как ранее движение материальной точки рассматривалось на алгебраических поверхностях второго порядка. Цель исследования. На трансцендентной поверхности найти кривую, двигаясь по которой от одной заданной точки (точки старта) к другой заданной точке (точке финиша) на этой поверхности без трения материальная точка осуществит такой переход за минимальное время. Трансцендентная поверхность в качестве направляющей кривой имеет циклоиду, которая лежит в одной из координатных плоскостей, а ее образующие перпендикулярны этой плоскости. Методика реализации. Для достижения указанной цели в работе использовались классические методы вариационного исчисления (уравнение Эйлера–Лагранжа), а также классический метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Бернулли). Результаты исследования. Построен функционал времени, с использованием которого аналитически выведены дифференциальные уравнения пространственной брахистохроны, которая лежит на трансцендентной поверхности. После интегрирования в замкнутой форме получены алгебраические уравнения пространственной брахистохроны в параметрической форме. Результаты исследования проиллюстрированы графически: приведены проекции траектории брахистохроны на координатные плоскости OXY и OXZ. Определены углы наклона оптимальной траектории в точке старта. Приведен сравнительный анализ времени быстродействия в процессе движения материальной точки вдоль двух траекторий: вдоль брахистохроны и вдоль альтернативной траектории. Выводы. Предложенный подход позволяет заранее проложить такой логистический маршрут материальной точки на заданной трансцендентной поверхности между двумя фиксированными точками, который обеспечит минимальное время перемещения между ними в однородном вертикальном поле тяготения. В этом случае экстремальной траекторией не обязательно будет кратчайшая линия, которая лежит на поверхности и соединяет две заданные точки (старта и финиша).
Databáze: OpenAIRE
Externí odkaz: