Représentations unitaires des groupes modulaires

Autor: Ma, Biao
Přispěvatelé: Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné (JAD), Université Côte d'Azur (UCA)-Université Nice Sophia Antipolis (... - 2019) (UNS), COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-COMUE Université Côte d'Azur (2015-2019) (COMUE UCA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Côte d'Azur, Indira Lara Chatterji
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2021
Předmět:
Zdroj: Group Theory [math.GR]. Université Côte d'Azur, 2021. English. ⟨NNT : 2021COAZ4043⟩
Popis: Mapping class groups of closed surfaces with punctures play important roles as prototypes of current research in geometric group theory. The representation theory of a group is a way to understand both the group structure and dynamic properties of that group. While there are massive literatures on finite dimensional (projective) unitary representations of mapping class groups, not so much on infinite dimensional ones. The aim of this thesis is to investigate mapping class groups from the perspective of infinite dimensional unitary representations based on current understanding of mapping class groups in the context of geometric group theory. It has two parts. In the first part, for a surface, we introduce a family of unitary representations of its mapping class group based on the space of measured foliations. For this family of representations, we show that none of them has almost invariant vectors. As an application, we obtain an inequality concerning the action of the mapping class group on the Teichmüller space. Moreover, using the same method plus recent results about weak equivalence, we also give a classification, up to weak equivalence, for the unitary quasi-regular representations with respect to geometrical subgroups.In the second part, for a closed hyperbolic surface, we show that the boundary representation of its mapping class group is ergodic, which generalizes the classical result of Masur on ergodicity of the action of the mapping class group on the projective measured foliation space of the surface. As a corollary, we show that the boundary representation of the mapping class group is irreducible. This confirms a conjecture of Bader-Muchnik in the case of mapping class groups with respect to Thurston measure classes.; Les groupes modulaires de surfaces fermées à points masqués jouent un rôle important comme prototypes par la recherche moderne en théorie géométriques des groupes. La théorie des représentations d'un groupe est un moyen de comprendre à la fois la structure du groupe et ses propriétés dynamiques. Bien qu'il existe beaucoup de littérature sur les représentations unitaires (projectives) de dimension finie des groupes modulaires, il y en a beaucoup moins sur celles de dimension infinie. Le but de cette thèse est d'étudier le groupe modulaire du point de vue des représentations unitaires de dimension infinie, dans le contexte de la théorie géométrique des groupes. Ce mémoire comporte deux parties.Dans la première partie, nous introduisons pour une surface une famille de représentations unitaires de son groupe modulaire, basée sur l'espace des feuillages mesurés. Pour cette famille de représentations, nous montrons qu'aucune d'elles n'a de vecteurs presque invariants. En corollaire, nous obtenons une inégalité concernant l'action du groupe modulaire sur l'espace de Teichmüller. Nous classifions aussi, à équivalence faible près, les représentations unitaires quasi-régulières par rapport à ses sous-groupes géométriques.Dans la seconde partie, pour une surface hyperbolique fermée, nous montrons que la représentation au bord de son groupe modulaire est ergodique, ce qui généralise un résultat classique de Masur sur l'ergodicité de l'action du groupe modulaire sur l'espaces projectif des feuillages mesurés de la surface. En corollaire, nous montrons que la représentation au bord du groupe de modulaire est irréductible, ce qui démontre une conjecture de Bader-Muchnik dans le cas du groupe modulaire par rapport à la classe des mesures de Thurston.
Databáze: OpenAIRE
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